Previous Entry Share Next Entry
Онтологический аргумент Гёделя. Сформулируем еще раз.
swpanurg
 Предыдущие тексты: первый, второй, третий.

Существуют качества, которые Гёдель называет позитивными. Качество позитивно если оно удовлетворяет 5 аксиомам. Бог, существование которого доказывает Гёдель, это объект, обладающий всеми позитивными качествами. Рассмотрим упомянутые аксиомы по порядку, приводя по ходу дела необходимые определения и теоремы.

Итак:

  • Аксиома 1: Если φ — позитивно и необходимо влечет за собой ψ, то последнее тоже позитивно
  • Аксиома 2: Если свойство φ позитивно, то ¬φ («не φ») - не позитивно, и наоборот, если φ — не позитивно, то ¬φ позитивно.
  • Определение 1: Говорим, что объект обладает свойством божественности, если он обладает всеми позитивными качествами. 
  • Аксиома 3: Божественность — позитивное качество. 
  • Аксиома 4: Если свойство позитивно, то оно позитивно во всех возможных мирах.
  • Определение 2: Качество называется φ сущностью объекта x если любое присущее ему качество ψ с необходимостью вытекает из φ.
  • Определение 3: Говорим, что объект х обладает качеством «необходимого существования» если для любого качества φ верно следующее: если φ является сущностью х, то в любом возможном мире существует объект, обладающий качеством φ. Иными словами, каждая сущность x необходимо экземплифицирована.
  • Аксиома 5: Необходимое существование позитивно. 
  • Теорема 1: Если качество φ позитивно то возможно существование объекта, обладающего этим качеством (иными словами, такой объект существует в каком то из возможных миров). Это следует из А1 и А2.
  • Теорема 2: Объект, обладающий качеством божественности, существует в каком-то из возможных миров (следует из того, что божественность — позитивное качество и из предыдущей теоремы)
  • Теорема 3: Если объект x обладает качеством божественности, то это качество — его сущность. Доказывается так: 
Пусть x обладает качеством φ.
Это качество должно быть позитивным, значит, оно позитивно во всех возможных мирах.
Значит в любом возможном мире объект, обладающий качеством божественности должен обладать и качеством φ. 
Значит, божественность является сущностью x
 
  • Теорема 4: Объект, обладающий качеством божественности, существует во всех возможных мирах. Доказывается так:
бог существует в некоторых из возможных миров (Теорема 2). Поскольку он обладает (позитивным) свойством необходимого существования, то его сущность экземплифицирована во всех возможных мирах (Определение 3). Сущность бога — божественность (Теорема 3). Значит, она экземплифицирована во всех возможных мирах (в том числе и в нашем)
 
На формулах:

Обозначения:

  • P(φ) обозначает фразу «свойство φ позитивно»
  • G(x) обозначает фразу «х обладает свойством божественности» (то есть х — бог)
  • Остальные символы (&, □, ◊, ∃, ∀, →, ↔) — обычные модальности, кванторы, связки матлогики 
Доказательство:

  • A1: {P(φ) & □ ∀ x [φ(x) → ψ(x)]} → P(ψ)
  • A2: P(¬φ) ↔ ¬P(φ)
  • D1: G(x) ↔ ∀ φ [P(φ) → φ(x)]
  • A3: P(G)
  • A4: P(φ) → □ P(φ) 
  • D2: φ ess x ↔ ∀ ψ { ψ(x) → □ ∃ [ φ → ψ ] }
  • D3: E(x) ↔ φ [ φ ess x → □ ∃ x φ(x) ]
  • A5: P(E)
  • T1: P(φ) → ◊ ∃ x φ(x) 
  • T2: ◊ ∃ x G(x)
  • T3: G(x) → G ess x
  • T4: □ ∃ x G(x)

И в заключение - пара фактов:

Первая версия текста Гёделя датирована примерно 1941-м годом. В 1970, полагая, что умирает, он впервые упомянул об этом доказательстве; Дана Скотт сделал копию, которая потом разошлась среди небольшого круга заинтересованных лиц. Тогда же Гёдель сказал, что «удовлетворен доказательством». Тем не менее, он так и не опубликовал своего текста, объясняя это боязнью того, что окружающие сделают неверные выводы о его религиозных взглядах.

Говорят, что есть по крайней мере один человек, который считал онтологический аргумент полностью убедительным доказательством бытия бога. Это Клайв Люис, известный, кроме всего прочего, как автор «Хроник Нарнии».

И снова, как и предыдущие тексты про Гёделя (первый, второй, третий) этот текст еще будет правиться, а возможно (если я найду в нем существенные ошибки) будет удален совсем. Имейте это в виду, если кому-то захочется его прокомментировать.

  • 1
Замечательные слайды В. Горбатова vic_gorbatov об онтологическом аргументе Гёделя (видимо, доклад) есть вот тут.

Оказалось, что фильтр ЖЖ съедает некоторые символы (в частности, кванторы). Вроде поправил, но если где остались опечатки - буду благодарен за указание.

Итить иху налево! При беглом чтении френдленты, наискосок, - прочитал "орнитологический". Подивился. Ещё раз прочитал, снова "орнитологический". Вновь подивился.
Дошло с третьего раза. ))

))) Есть известная история, как в свое время некая немка первая в Германии защитила диссертацию по физике. Журналисту, освещавшему взятие этого важного рубежа на пути к торжеству эмансипации, подумалось про название: "Ну это уж точно опечатка", и он исправил "космической" на "косметической".

Математика божественного

Пользователь awas1952 сослался на вашу запись «Математика божественного» в контексте: [...] 4 [...]

Математика божественного

Пользователь kuzichkamoya сослался на вашу запись «Математика божественного» в контексте: [...] 4 [...]

В Ответ: Математика божественного

Пользователь al391 сослался на вашу запись «В Ответ: Математика божественного» в контексте: [...] 4 [...]

Забавная гимнастика для ума, спасибо.

Однако, здесь есть одна фундаментальная проблема. Равно как и в теоремах Гёделя (о полноте и непротиворечивости), здесь речь идёт о счётном множестве свойств. То есть мощность набора позитивных свойств - алеф-нуль и не больше, это необходимо нам для проведения различий при построении аксиоматической модели познания. Таким образом, данные логические построения имеют смысл только в привычной нам системе познания мира; а её уникальность либо корректность никак не обосновываются, окружающий мир существует безотносительно методологии его познания. То, что другие методологии существуют - описывается той же математикой, см., например, "fuzzy logic".

Более того, религия напрямую заявляет, что имеет отличный от научного механизм познания мира - "духовный опыт", который не поддаётся чёткой формализации. Так что из возможности либо невозможности описания некоего объекта как сущности в одной методологии отнюдь не следует как отсутствие таковой возможности в другой, равно как и существование либо несуществование самого объекта в виде объективной сущности.

D&G представляют... Ну что, кто-то сможет поддержать уров

Пользователь tovarisch_gandi сослался на вашу запись «D&G представляют... Ну что, кто-то сможет поддержать уровень дискусcии? ;)» в контексте: [...] , 4 [...]

здравствуйте. я необразованный атеист. тут в одном закутке зашла речь об этой теореме, якобы доказывающей существование бога, а на деле - объекта, обладающего всеми позитивными кач-вами. пытаюсь понять, напрягая моск, что есть мочи =)

"бог" условное название объекта, как и его свойство "божественность" - условное название обладания всеми позитивными кач-вами. позитивный - не обязательно означает "хороший" в плане морали. но не совсем понятно, что есть позитивное свойство. кажется, что обладание каким-либо свойством и есть позитивное свойство само по себе... цветной (а не конкретный цвет), имеющий температуру (а не теплый или холодный), заряд - это позитивные свойства? тогда чем отличается хороший-плохой от чёрный-белый (у вас красный-зеленый)? но, как я понимаю, это нюансы. позитивные свойства - те, что отвечают неким критериям.

с сущностями не совсем понятно... пока что у меня ощущение, что сущность - это совокупность свойств, присущих объекту, тк вы определяете её перечислением свойств. божественность - совокупность всех возможных позитивных свойств.

необходимость существования. если существующий объект имеет сущность, это означает, что его сущность имеет воплощение, т.е. необходимо-существует и, следовательно, позитивна. выходит "бог" необходимо существует, потому что он есть совокупность всех необходимо-существующих позитивных свойств?

сорри за глупые вопросы, я совершенно не знаком с темой =)

Добрый день!

Я бы не назвал ваши вопросы глупыми, скорее напротив.

Относительно позитивности. Тут полной ясности нет и у меня. Гедель пишет (я цитирую его во втором тексте), что "... Это также может означать чистую атрибуцию (присвоение, обогащение) в противоположность лишению (или содержащему лишение, от слова «лишить», изъять, убрать и т.д" Видимо это можно понимать в смысле отсутствия ограниченности: нет чего-то, что было бы где-то, но чем не обладал бы бог.

Поэтому вы, думаю, правы, говоря, что "кажется, что обладание каким-либо свойством и есть позитивное свойство само по себе", но не любым свойством.
Например (и это касается и "тогда чем отличается хороший-плохой от чёрный-белый"):
"хороший-плохой" - такого нет вообще, а вот, скажем, "злой-добрый" отличается от "черный-белый" тем, что зло может рассматриваться как недостаток или отсутствие добра (то есть "лишение" у Гёделя). С цветами это не так: зеленый - это не есть недостаток красного, черный - не есть недостаток белого. Соответственно обладание злом - не есть позитивное качество.

Отсюда можно перейти к утверждению, что необходимое (но отнюдь не любое, в этом случае работает возражение Канта) существование есть позитивное свойство.

Что касается сущностей - это не совсем перечисление свойств. Примеры в эту сторону можно найти в математике: есть множество свойств присущих, скажем, четным числам, и перечислить их невозможно. Однако если сказано, что число является четным (указана его сущность), то все эти свойства выводимы из этого утверждения и можно гарантировать, что число ими обладает. Чуть более сложный, но аналогичный пример - любое более сложное математическое понятие, например, множество Мандельброта, или, скажем, какая-нибудь дзета-функция. Их свойства известны не все, некоторые сформулированы, но не доказаны, а некоторые, скорее всего, до сих пор не замечены, так что о речь о перечислении идти не может. Однако сущности этих объектов заданы в их определениях.

Спасибо за ответ! Не совсем понятно, почему зло - это отсутствие добра. Почему добро не может быть отсутствием зла (беззлобность, безгрешность и тд?) Хотя я в любом случае не согласен с таким раскладом. Скорее есть нейтральная позиция, а зло-добро - активные полюса.

Мне кажется, проблема именно в определениях, выдающих желание автора доказать нечто определённое. В противном случае не появилась бы "божественность" и проч. Вот я честно пока не понял, откуда вообще взялся этот объект. Мы как бы говорим "если бы существовал объект, обладающий всеми возможными положительными кач-вами (божественность), то он был бы необходимо-существующим, потому что божественность позитивна" из этого следует, что он существует, потому что не может необходимо-существующий объект не существовать?.. Про миры тоже не понятно, кстати. Что за миры, для чего они? сорри за тупняк =)

Теперь понятно, что таковы некоторые сущности в математике (в которой я ни бум-бум класса с седьмого), ну а что насчёт мира вещей? Можем ли мы описать сущность достаточно сложного объекта каким-либо всеобъемлющим свойством? Например, сущность человека или даже камня? Хотя, наверное, и это не важно - достаточно, чтобы такие объекты в принципе могли существовать? Но они существуют?.. Всё же не покидает ощущение, что сущности этих гипотетических-реальных объектов "сложены" только ради необходимости существования "бога", который совокупность необходимо-существующих сущностей... Но это какой-то странный бог, потому что набор свойств довольно пёстрый получается =)

"Не совсем понятно, почему зло - это отсутствие добра."
Есть в философии такая точка зрения. Видимо Гёдель ее разделял.

"Про миры тоже не понятно, кстати. Что за миры, для чего они?"
"Возможные миры" - это одна из формулировок т.н. семантики Крипке в логике. В нашем мире у меня белай рубашка. Но это свойство - случайно. Она вполне могла бы быть другого цвета. Говорят, что возможен мир, где рубашка зеленая. А вот мира, где не выполняется теорема Пифагора быть не может. Посмотрите в сети "семантика Крипке", если нтересно.

"Теперь понятно, что таковы некоторые сущности в математике... ну а что насчёт мира вещей? Можем ли мы описать сущность достаточно сложного объекта каким-либо всеобъемлющим свойством?"
Описать видимо не можем (можем разве что указать имя, "это - Вася", но имя - не есть предикат). Но из того, что мы не можем ее описать не следует, что сущности не существует, как показывает пример математики.

Edited at 2012-08-23 11:16 am (UTC)

спасибо за пояснения!

И вам спасибо, хорошие вопросы, самому было интересно.

а как бы Вы отнеслись к идее издания сборника (на английском) о логике бытия Божия? можно Виктора Горбатова пригласить, а издать в серии Андрея Шумана в Ontos-Verlag, под его (и, возможно, чьей-то еще -- скажем, Вашей или Виктора) редакцией? у Андрея уже вышла там пара хороших международных сборников на смежные темы.

я за прошедшие 3,5 года много думал на смежные темы и даже кое-что написал. наш (византийский) Бог параконсистентный, но как раз и интересно все это сравнить. в последние годы (после 2010 даже) появились интересные работы об онтологическом доказательстве у Лейбница, Декарта, Канта (да, можно и про Канта что-то новое наблюсти...).

К идее сборника - очень положительно! Прекрасная идея! Было бы очень интересно и полезно. Правильно ли я вас понял, что достаточный объем материала уже имеется?

А вот за редактирование я бы не взялся. Думаю, Андрей Шуман или Виктор Горбатов справились бы гораздо лучше.

нет, не имеется. но где-то за год-полтора набрать можно. тут нужна определенная энергия -- напр., Виктора внутри России и Андрея за ее пределами.

я тогда начну какие-нибудь переговоры, а потом (это будет через несколько недель) еще раз Вас побеспокою.

а можно узнать, как Ваше тайное (от жж) имя? если здесь неудобно, то мне можно написать на hieromonk @ gmail.com. я Вас пригласил, не зная Ваших печатных работ, но только потому, что я очень многим обязан Вашим постингам на окологеделевские темы.


Разумеется, можно! Я послал Вам письмо; подтвердите пожалуйста его получение.

Edited at 2014-04-30 11:20 am (UTC)

Вопрос насчёт теоремы 1. Выше я читал её словесную формулировку, а также доказательство на естественном языке. Но так как это теорема модальной логики, то должно быть возможно построить её формальное доказательство, исходя из заданных аксиом и правил вывода. Можете ли вы помочь мне в этом деле?

У Гёделя в его Onthological Proof написано, что ◊ ∃ x G(x) означает, что все позитивные качества совместимы, и что это следует из аксиомы 5 (которая у вас обозначена как А1). Давайте разберёмся, что это означает?

Добрый день.
Какое-то время я нечасто буду в сети, но по возможности - буду рад.

А вот аксиомы A3: P(G) в исходном тексте Гёделя нет. Более того, это не является аксиомой, так как не является независимым от остальных определений и аксиом утверждением, а именно, вытекает из определения D1 и аксиомы A2, причём довольно просто. Если G(x), то G является качеством объекта x. Из D1 и A2 следует, что x обладает только положительными качествами. Следовательно, G - положительное качество, т.е. P(G).

Мне кажется, в таком рассуждении есть самореференция.
Есть следующая конструкция:
Определение D1 говорит, что свойством "быть богом" называется свойство "обладать всеми позитивными качествами".
А2 означает, что если φ позитивно, то «не φ» - не позитивно, и наоборот.
Отсюда в общем случае не следует, что x обладает только позитивными качествами (это зависит от определения позитивности), но даже если принять, что это так:
Мы определили новое свойство - свойство обладать всеми и только позитивными качествами. Возникает вопрос: является ли это свойство позитивным? Для дальнейших построений нужно, чтобы ответ был "да", но вообще говоря ответ зависит от определения "позитивности" и лежит вне рамок нашего определения. Скорее это утверждение о том, что определение позитивности должно быть таким, чтобы свойство G было позитивным.

Отсюда в общем случае не следует, что x обладает только позитивными качествами (это зависит от определения позитивности)
Боюсь, я могу доказать обратное. Определения позитивности у нас, конечно, нет. Но есть несколько аксиом, описывающих некоторые свойства позитивных качеств. Так вот, пусть G(x) и существует такое ψ, что ψ(x) и ¬P(ψ). Тогда, по А1, P(¬ψ). Тогда, по D1, ¬ψ(x). Получаем противоречие с ψ(x). Отсюда следует, что такого ψ не существует, и все качества x позитивны.

Вообще, я ЖЖ опубликовал свои мысли насчёт этого доказательства: http://vladb314.livejournal.com/558.html. Приглашаю обсудить! :-)

Применимость математики

Пользователь gul_kiev сослался на вашу запись в своей записи «Применимость математики» в контексте: [...] 3 [...]

Совсем непонятно как выведена теорема 1. Не подскажете как?

  • 1
?

Log in

No account? Create an account