?

Log in

No account? Create an account

Previous Entry Share Next Entry
Онтологическое доказательство Гёделя. Перевод.
swpanurg
Онтологический аргумент, обосновывающий бытие бога, впервые видимо прозвучал в XII веке у Ансельма Кентрберийского, который сказал по существу следующее: «Бог - это то, больше чего помыслить нельзя. Бог существует в понимании. Тогда можно вообразить его больше, а именно существующим и в реальности. Значит, он должен существовать и в реальности.»

Это рассуждение критиковали многие и весьма компетентно, а некоторые - развивали. Имена части участников дискуссии говорят сами за себя: Фома Аквинский (объявил доказательство неверным, чем предопределил отношение к нему теологов, в среде которых его авторитет был непререкаем), Лейбниц (полагал, что его можно сделать состоятельным, несколько дополнив), Кант (считал, что опроверг аргументацию Ансельма полностью), Декарт, наконец Гёдель, который оставил свой вариант доказательства, развивающего аргументацию Св. Ансельма и Лейбница. О Гёделевском доказательстве речь и пойдет.

В оригинале это примерно 20 строчек в формате матлогики. История текста интересна сама по себе и о ней стоило бы сказать отдельно, но пока, «по просьбе группы товарищей», я приведу просто перевод Гёделевских формул на «человеческий» язык. Почти подстрочник. Комментарии [помещены в квадратные скобки и выделены курсивом]. Картинки кликабельны, сделать их лучшего качества я не сумел. Маленькие вырезаны из большой. Известно по крайней мере 2 (наверное больше) варианта записи доказательства Гёделя, они несколько различаются формулировками аксиом и нотацией. Я взял то, которое из Оксфордского издания его работ.

Гёделем история, разумеется, не заканчивается. Его доказательство (оно датировано 1970-м годом) тоже нашло своих критиков и интерпретаторов. Впрочем, и это совершенно не увидительно, если принять во внимание личность автора, никто, похоже, не сомневается что оно верно в рамках принятой формальной модели. Вопрос только один: как эту модель интерпретировать. Иными словами, все верят, что что-то Гёдель доказал, но вот что именно — не так чтобы ясно.

Итак,
Онтологическое доказательство
(*1970)
10-е февраля 1970 г.

Онтологическое доказательство Гёделя



Перевод:

ontological_proof_1.jpg
Пусть φ — позитивно [позитивное качество. Ниже фигурируют объекты и их качества, свойства. Например: есть объект m, скажем, «мой веселый, звонкий мяч». Он может обладать качеством Z, скажем, «быть зеленым». Если мяч в самом деле зеленый, то Z(m) – истинно, пишем просто Z(m). На самом деле, как мы помним из классического труда Маршака времен детсадовского детства, он «желтый, красный, голубой», так что ~Z(m), то есть верно «не Z(m)»]

1.Аксиома 1: Если φ и ψ оба позитивны, то (φ и ψ) также позитивно, и так для любого количества
2.Аксиома 2: Позитивно или φ или (не φ); “или” в данном утверждении эксклюзивное


ontological_proof_2.jpg
3. Определение 1: «x – божество» [понимать как: обладает качеством божественности], означает, что x обладает всеми позитивными качествами. [Это определение. Отсюда и из (2) следует, что объект, обладающий качеством божественности обладает только позитивными качествами]

4.Определение 2: Назовем φ сущностью х, если для любого ψ верно следующее: если х обладает ψ, то из этого необходимо следует, что для каждого y если y обладает φ, то он обладает и ψ. Сноска: любые 2 сущности х с необходимостью эквивалентны. [Иными словами, если нечто обладает сущностью х, то оно обладает и всеми его качествами. Если 2 объекта совпадают по сущности, то они совпадают по всем качествам.]

5.Следующая строка — обозначение для «необходимо следует». «q необходимо следует из p» означает что утверждение “p влечет за собой q” является необходимой истиной [Тут мы выходим на просторы модальной логики. Необходимой истиной будем называть истину, отрицание которой приводит к противоречию]

6.Аксиома 3: Если φ позитивно, то φ позитивно с необходимостью, и если φ не позитивно, то это также верно с необходимостью, поскольку это следует из природы данного свойства. [Тоже очевидно, даже несмотря на то, что определение позитивности, которое Гёдель приводит в другом месте, довольно расплывчато. Тем не менее, эта аксиома совершенно естественна для любой позитивности, как ее ни понимай]


ontological_proof_3.jpg
7.Теорема: Если х обладает божественностью, то это качество — его сущность. [Очевидно, но если угодно, формально проверяется подстановкой в (4) и (5)]


ontological_proof_4.jpg
8.Определение: х «необходимо существует» если для каждого φ верно следующее: если φ является сущностью х, то необходимой истиной явлется тот факт, что существует х такое, что х обладает φ. [Иными словами, если всегда существует объект обладающий сущностью x. Это наверное проще всего представить себе в такой семантике: сказать, что «объект x необходимо существует» означает сказать, что «в каждом возможном мире существует объект обладающий сущностью x»]


ontological_proof_5.jpg
9.Аксиома 4: «Необходимое существование» позитивно. [Примечание — такое же как к 7, то есть достаточно очевидно само по себе. Вспоминаем, что «божественность» предполагает обладание всеми позитивными свойствами и только ими]

10.- 14. (следующие 4 строки) — основная теорема. Понимать эти строки надо так:

Существование объекта, обладающего качеством божественности, возможно [поскольку каждое позитивное свойство актуализировано в каком-то из возможных миров].
Такой объект обладает качеством необходимого существования. [Следует из (9), то есть из аксиомы 4, поскольку необходимое существование позитивно во всех возможных мирах].
Значит, такой объект должен существовать во всех возможных мирах [по определению необходимого существования. Помним, что «божественность» является сущностью обладающего ею объекта].
[Иными словами,] Если х обладает качеством божественности, то существование такого объекта необходимо.

[И еще раз:
Поскольку необходимое существование позитивно — оно следует из божественности. Более того, божественность является сущностью бога, поскольку бог не может обладать непозитивными свойствами (поскольку каждое из последних является отрицанием позитивного свойства). Поскольку каждый объект, обладающий качеством божественности, необходимо существует, то божественный объект в одном мире является таковым во всех мирах, по определению необходимого существования.]


И последнее: этот текст еще будет правиться, а возможно и будет удален совсем. Имейте это в виду, если кому-то захочется его прокомментировать. Сами комментарии будут приняты с удовольствием и заинтересованностью. Отдельное спасибо Данияру Шамканову за обсуждения нотации.

==.Если х обладает качеством божественности, то существование такого объекта необходимо.==

-- вообще-то в приведенном Вами английском оригинале написано несколько по-другому: "Если х обладает качеством божественности, то существование у, обладающего качеством божественности, необходимо". Не уверен, что две эти записи равнозначны...

Совершенно верно, дословно написано именно так, как вы говорите.
Моя формулировка "Если х ... то существование такого объекта ..." это и имела в виду, поскольку в ней сказано не "этого", а "такого объекта" (то есть не тождественного x, а другого, но обладающего тем же качеством).

Пожалуйста, если заинтересовало - рад. Будут, наверное, еще одна или две небольшие заметки.

любопытно как сам Гедель относился к этому вопросу (существования бога и представление о нем)... не слышал что бы его же собственная теорема "не полноте" была бы опровергнута... формальная логика не может преодолеть собственных ограничений. в этом же доказательстве - требование положительности во всех качествах боги, неизбежно, я бы сказал обязательно и необходимо, лишает его качества всеобъемлющего (так порождает обязательную НЕположительную антитезу богом не являющуюся) .. а это то куда как по важнее для божественности нежели абстрактная положительность

Объективация необъективируемого

А что будем делать с субъективной составляющей бога, т. е. каждый представляет бога по-своему, и позитив с одной стороны негативен с другой, а объективно вообще может быть злом и разрушительностью? Я готов доказать, что бог в представлении человека - это его собственные субъективные тенденции мышления, доведенные до абсолюта. (Систематизация тенденций, "измов" тут, в теории тенденций - http://ideo.ru/theory.html)
Скажем, если человек детермиНИСТ, то и бог у него соответствующий - верховный властитель, первопричина всего (если наоборот - релятивИСТ, то бог относителен, либерален и демократичен).
Если человек негатиВИСТ, то и бог у него демиург, наказующий, борец с негативом, со злом (если наоборот, позитивист, то бог - награждающий, всеблагий и пр).
Если человек материалИСТ, то бог у него "воплотившийся" в материю, всё материальное, как у церковных христиан - и чудеса, и воскресение, и обряды и все представляемые образы перенесены из материи (если наоборот, идеаЛИСТ, то бог у него сущность идейная, он оперирует нематериальными, идейно-постигаемыми явлениями - системами, отношениями, процессами).
И так далее, образ бога у каждого человека и у каждой культуры свой, соответствует профилю тенденций данной личности и данной культуры - в каждой культуре своя религия, иначе и быть не может. Мы можем абсолютно обрисовать бога для любого человека, просто оттестировав его на "измы".
И тут вдруг появляются попытки доказать или опровергнуть существование бога. Они сводятся, по моей логике, к доказательству уникальности каждого человека.

Re: Объективация необъективируемого

Вопрос субъективной составляющей несомненно есть и важен. Гёдель его не рассматривает: он всего лишь логически доказывает существование объекта, обладающего определенными свойствами (а именно совокупностью всех позитивных качеств). В момент определения того, какие качества являются позитивными, и может возникнуть субъективная составляющая, о которой вы пишете. Из Гёделевского определения позитивности следует, что выбор тут во всяком случае ограничен: не всякое качество, которое может быть склонен приписать богу произвольный человек, является позитивным в Гёделевском смысле, то есть удовлетворяет его его аксиомам.

Мне кажется, или доказательство имеет вид "существующий единорог существует"?

Не вполне, но ваше сомнение близко к Кантовскому "Существование - не предикат".

Математика божественного

Пользователь awas1952 сослался на вашу запись «Математика божественного» в контексте: [...] мне указали на перевод (в четырёх частях: 1 [...]

Математика божественного

Пользователь kuzichkamoya сослался на вашу запись «Математика божественного» в контексте: [...] мне указали на перевод (в четырёх частях: 1 [...]

Множество позитивных качеств конечно или бесконечно?

Не знаю. Немного подробней об этом есть во втором тексте, http://swpanurg.livejournal.com/23285.html, но ясного понимания у меня нет. Склонен думать, что континуум, но, повторюсь, есть вопросы.

В Ответ: Математика божественного

Пользователь al391 сослался на вашу запись «В Ответ: Математика божественного» в контексте: [...] (в четырёх частях: 1 [...]

D&G представляют... Ну что, кто-то сможет поддержать уров

Пользователь tovarisch_gandi сослался на вашу запись «D&G представляют... Ну что, кто-то сможет поддержать уровень дискусcии? ;)» в контексте: [...] реальным. Ссылки, в которых рассказывается о доказательстве Гёделем аргумента Ансельма: 1 [...]

Спасибо за публикацию!
Три вопроса, если позволите:

1. пункт 6., "Аксиома 3:" не очень ясна ее нужность для доказательства.

2. В 10-14 не понял откуда взято что
'поскольку каждое позитивное свойство актуализировано в каком-то из возможных миров' или это и есть следствие аксиомы 3?

3. Не понял почему даже если позитивные свойство актуализируются в каком-то из миров, то почему они же должны с'актуализироваться все вместе в одном и том же мире (а именно это вроде бы используется в доказательстве).

PS. И вероятно следует немного поправить определение божественности - что "x обладает всеми позитивными качествами" _и только ими_.

Спасибо за внимание и вопросы!

Текст писался довольно давно, так что боюсь, что могу сейчас не вспомнить всех деталей. Навскидку думаю, что, касательно Аксиомы 3, если допустить, что свойство может быть позитивно в одном из миров и непозитивно в другом, то это лишит смысла интерпретацию G как божества, то есть объекта, обладающего всеми позитивными качествами.

Что "каждое позитивное свойство актуализировано в каком-то из возможных миров" означает, мне кажется, полноту множества возможных миров. Иными словами, наличие такого свойства в мире не приведет к противоречию.

Относительно последнего пункта - затрудняюсь сейчас сказать сразу. В каком-то смысле это и доказывается - что они актуализируются все вместе в объекте G.

Относительно того, может ли G обладать качествами, которые не являются ни позитивными, ни непозитивными, например случайными - видимо тут мы немного упираемся в отсутствие четкого определения позитивности. Что-то об этом есть третьем тексте, http://swpanurg.livejournal.com/23339.html

Онтологическое доказательство Гёделя. Перевод.

Пользователь yarcprofi сослался на вашу запись в «Онтологическое доказательство Гёделя. Перевод.» в контексте: [...] Оригинал взят у в Онтологическое доказательство Гёделя. Перевод. [...]

Почему есть Бог

Пользователь rossotar сослался на вашу запись в записи «Почему есть Бог» в контексте: [...] твляется в конкретном материальном объекте. Раз необходимое существование (аксиома Гёдля № 5) [...]

Разрушила храм-идеал вторая его теорема

Был замысел. Он воспарил
До пятого времени года.
Иллюзию похоронил
Хирург математики - Гёдель.

Печален его епикриз.
Наш мир - не предел совершенства.
Исполнен не каждый каприз,
И так далеко до блаженства.

Потом из Европы сбежал.
(Но это отдельная тема)
Разрушила храм-идеал
Вторая его теорема.

http://alex-vinokur.livejournal.com/82695.html

Re: Разрушила храм-идеал вторая его теорема

Спасибо!
С удовольствием почитал и другие ваши стихи на математические и нематематические темы!

Применимость математики

Пользователь gul_kiev сослался на вашу запись в своей записи «Применимость математики» в контексте: [...] сознания, но и Курт Гёдель в 1970 опубликовал математическое доказательство существования бога [...]